Катастрофические события, как ранее было сказано, происходят в сложных системах. Теперь я лишь хочу уточнить, что эти системы инвариантны относительно изменений масштаба и состоят из других систем.

Чтобы описать теорию самоорганизованной критичности в общем виде, как правило, используют кучу песка.

[5]

Допускается тот факт, что песчинки между собой довольно плотно сцеплены, т.е. можно пренебречь незначительной величиной расстояния между песчинками, в то время как величина, которая играет существенную роль для данного эксперимента – угол наклона. Итак, существует некий средний угол наклона z и некоторый критический угол наклона, при котором возникает движение песчинок по куче, т.е. ток песка J. При z никакого движения не происходит, но при процессе J z стремительно увеличивается. Таким образом, z является управляющим параметром, J – параметром порядка. Кроме того, существует знчение zc, которое является своеобразной границей между хаотической (z <zc) и упорядоченной (z > zc) фазами, и критическая точка (z = zc), в которой малейшее изменение (а именно - добавление одной песчинки, флуктуация) может привести к катастрофе любого масштаба. Поместить кучу песка в такое «критическое» состояние можно либо самим, посторив такую кучу, либо опытным путём, наблюдая за поведением системы, позволив ей проявить чудеса самоорганизации, подсыпая по одной песчинке на вершину. В первом случае мы отрегулируем управляещий параметр до соответствия равенству z = zc, во втором случае мы отрегулируем параметр порядка.

Для этого явления, также как для многих, существует модель, позволяющая наглядно проследить за движением и реакцией песчинок, до момента достижения критической точки, во время и после. Эта модель представляет собой двухмерный клеточный автомат, в котором куча представлена в виде двухмерной гексагональной решетки. В ячейках этой решётки находятся единицы и нули, обозначающие локальный наклон поверхности.

[5]

Единицы и нули говорят об устойчивом положении песчинки: когда локальный наклон превышает единицу, то возникает ток песка, т.е. осыпание. В модели это обозначается тем, что в ячейке стоящее в ней число уменьшается на 2, при этом значения в 2-х ячейках, стоящих ниже, увеличивается на 1. Итак, прибавление одной песчинки в реальной модели будет выглядеть как увеличение значения в верхней ячейке в клеточном автомате. Но увеличением показателя в одной ячейке это не ограничится, потому что по вышеуказанному алгоритму изменяются, как минимум, показатели двух ячеек. Таким образом, в какой-то момент в качестве реакции на добавление одной единицы, возникнет не просто осыпание, а лавина, которая будет продолжаться до обретения системой состояния устойчивости. Когда система обретёт равновесие, процесс релаксации будет считаться законченным. Осыпания происходят сверху вниз, не затрагивая при этом один и тот же слой 2 раза.

Характеристикой лавнины осыпаний является её размер S, т.е. число ячеек, где произошло осыпание. Лавины распределены по размеру степенным образом с показателем, равным 1/3, что подтверждается симуляцией модели, результаты которой приведены на рисунке ниже.

[8]

Линейная часть графика соответствует степенному распределению с  = 1/3. Отклонение от масштабно инвариантного поведения при больших S связано с конечностью размеров системы. Развитие очень больших лавин обрывается из-за достижения ими нижнего края решетки, что обуславливает горб в правой части графика. Такие события можно трактовать как сверхкатастрофы – порождающая их система оказывается мала для нормального завершения этих лавин.[8]

Это интересно:

Рефлексы
Почему кошка всегда приземляется на лапы? Что заставляет нас моргать? Как получается, что мы продолжаем дышать даже во время сна? Всеми этими действиями управляют автоматические реакции, не поддающиеся сознательному контролю, - рефлексы. ...

Условия выживания
Проследим, насколько выполняются эти условия в современном мире и остановимся более подробно на некоторых из них. · Заселение человеком всей планеты. Это условие выполнено. На Земле не осталось мест, где не ступала бы нога человека. Он ...

Классификация грибов. Особенности строения грибной клетки
Грибы — обширная группа организмов, насчитывающая около 100 тыс. видов. Они занимают особое положение в системе органического мира, представляя, по-видимому, особое царство, наряду с царствами животных и растений. Они лишены хлорофилла и ...